Целые числа в компьютере.
Вся информация, обрабатываемая современными компьютерами, хранится в них в
двоичном виде. Каждая ячейка памяти компьютера состоит из некоторого числа
однородных элементов, обладающих двумя устойчивыми состояниями, одно из которых
соответствует нулю, а другое — единице. Каждый элемент ячейки служит для
изображения одного разряда двоичного числа. Именно поэтому каждый элемент ячейки
называют
разрядом.
Знаковое представление чисел в компьютере.
Для человека привычна запись числа в виде
«знак-величина». Чтобы и в компьютере представлять числа в привычном для
человека виде, необходимо самый левый разряд ячейки отвести для записи знака
числа. При записи положительного числа в самый левый разряд ячейки, который
называется
знаковым, записывается 0, при записи отрицательного числа
1. То есть при знаковом представлении чисел 0 в самом левом разряде
ячейки соответствует знаку плюс, а единица – знаку минус. Очевидно, что модуль
числа можно записывать только в оставшихся
k – 1
разрядах. Такое представление чисел называется
прямым кодом.
Прямой код положительного числа отличается от
прямого кода такого же по модуля отрицательного числа только содержанием
знакового разряда. Однако для представления отрицательных чисел в компьютере
используется
дополнительный код(см. ниже).
В
k-разрядной ячейке при представлении целых знаковых чисел
умещаются числа [-2
k –1, 2
k–1–1]. Например, для 8-разрядной ячейки это диапазон [-128,
127]. Таким образом, при программировании нужно помнить о том, что:
- количество представимых чисел в k разрядах ограничено и
зависит от k;
- диапазон знаковых чисел, представимых в k-разрядной ячейке,
не симметричен относительно 0.
Запишем максимальные и минимальные числа, которые можно записать в 8, 16 и 32
разрядах при знаковом представлении.
Количество разрядов | Минимальное число | Максимальное число |
8 | –27 = –128 | 27 – 1 = 127 |
16 | –215 = –32768 | 215 – 1 = 32767 |
32 | –231 = –2147483648 | 231 – 1 = 2147483647 |
Беззнаковое представление положительных целых чисел в компьютере.
Так как в компьютере все данные хранятся в двоичном виде, то чтобы получить
представление целого положительного числа в компьютере, сначала это число
необходимо перевести в двоичную систему счисления. Если двоичное число состоит
не более чем из
k цифр, то это число можно записать в
k-разрядной ячейке памяти, дополнив нулями слева до
k
разрядов.
Очевидно, что самое большое целое положительное число, которое мы можем
записать в k разрядах, состоит из единиц во всех разрядах ячейки.
Если перевести это число в десятичную систему счисления, то оно равно 2k – 1. Минимальное число состоит из нулей во всех разрядах и
равно 0.
Запишем максимальные числа, которые можно вместить в 8, 16, 32 разрядах.
Количество разрядов |
Максимальное число |
8 |
28 – 1 = 255 |
16 |
216 – 1 = 65535 |
32 |
232 – 1 = 4294967295 |
Алгоритм построения дополнительного кода.
В
k-разрядной целочисленной компьютерной арифметике 2
k = 0, так как единица в самом старшем разряде числа 2
k должна стоять в
k+1 разряде и следовательно,
«выползает» за границы ячейки. Дополнительный код отрицательного числа,
записанный в
k-разрядной ячейке, заменяет это отрицательное число
на дополнение его модуля до числа 2
k. То есть
дополнительный код отрицательного числа
m равен 2
k – |
m|. Такая замена позволяет заменить
операцию вычитания чисел на операцию сложения. Действительно, если в 8-разрядной
ячейке сложить числа 5 и –6, где вместо –6 написано число (2
8 – 6),
то получится 5 + (2
8 – 6) = 2
8 – 1, что будет
соответствовать записи числа –1.
Поэтому для
k-разрядной ячейки дополнительный код
отрицательного числа можно получить следующим образом:
- Модуль числа представляется прямым кодом в k разрядах.
- В прямом коде все нули заменяются на единицы, а единицы – на нули. Таким
образом получаем обратный код.
- К полученному обратному коду прибавляется единица.
Алгоритм получения числа по дополнительному коду.
- Провести обратную цепочку преобразований: вычесть единицу из дополнительного
кода числа, инвертировать полученный результат и перевести его в десятичную
систему счисления.
- Построить дополнительный код для имеющегося дополнительного кода и перевести
результат в десятичную систему счисления.